Crie uma nova conta de e-mail movidesk (com envio e recebimento habilitados), com o mesmo início da conta que você quer configurar, exemplo:
sua conta: teste1@gmail.com
conta Movidesk que você irá criar: teste1@suabase.movidesk.com
Acesse as configurações do seu e-mail pelo navegador e configure um redirecionamento (exemplo aqui) onde uma cópia dos e-mails recebidos em teste1@gmail.com será enviado automaticamente para teste1@suabase.movidesk.com
Após a configuração do redirecionamento, faça um teste enviando um e-mail para teste1@gmail.com e veja se o e-mail chegou no Movidesk.
Caso o e-mail tenha chego, acesse as configurações da sua conta Movidesk teste1@suabase.movidesk.com e desabilite o recebimento.
Acesse também as configurações da sua conta teste1@gmail.com e escreva "Não_alterar" no campo "Servidor" de recebimento.
Certifique-se que o envio continua sendo feito pela sua conta teste1@gmail.com normalmente.
Valide se os seus gatilhos utilizam a opção de remetente "Conta que recebeu o e-mail", caso utilizem, a conta teste1@gmail.com deverá ser selecionada manualmente (se for o caso).

Lembre de atualizar seus gatilhos: Outro ponto importante seria o ajuste nos gatilhos de envio de e-mail em sua base, para que os e-mails sejam enviados pela conta de e-mail própria, para fazer esse ajusta basta seguir os seguintes passos:

1° Acessar os gatilhos, indo em Configurações > Automações > Gatilhos, em seguida acessar os gatilhos que enviam e-mail.

2° Dentro do gatilho indo nas ações, em seguida alterar esse campo:

3° No campo remetente colocar o e-mail próprio para que seja enviado pela sua conta de e-mail e não pela (@cliente.movidesk).

Feito isso o envio e recebimento dos e-mails estarão configurados corretamente.

Em cenários em que possua gatilhos com a condição "recebido em", a condição precisa ser atualizada. Você pode abrir uma solicitação para identificar qualquer gatilho com esse cenário para ajuste.

Mais informações clique aqui!